Evan Ichir, Physique

Révolution : mouvement orbital périodique d’un corps céleste, en particulier d’une planète ou d’un satellite, autour d’un autre de masse prépondérante ; période de ce mouvement, appelée aussi période de révolution.

Alors certes ce n’est peut-être pas la définition de révolution à laquelle vous vous attendiez, mais le sujet n’en est pas moins important. En effet, vous savez que la Terre tourne autour du Soleil, vous avez peut-être même étudié cette rotation en cours au lycée. Vous savez également que la Terre et le Soleil ne sont pas seuls dans cette histoire : il y a aussi la Lune, Mercure, ou encore Jupiter… Pourtant, je suis prêt à parier que vous n’avez jamais étudié le système solaire dans son ensemble et que l’étude du système Terre-Soleil-Lune ne vous est pas vraiment familier non plus. Pour un système de N corps célestes interagissant entre eux au travers de la force gravitationnelle, on parle de problèmes des N corps. A partir de 3 corps ou plus, on n’arrive pas à résoudre le problème facilement.

Le problème à deux corps

Jusqu’au XVIème siècle, il allait de soi de considérer que le Soleil tournait autour de la Terre. Puis en 1543, un homme du nom de Nicolas Copernic, publie De revolutionibus orbium colestium, œuvre dans laquelle il défend l’idée que c’est la Terre qui suit une trajectoire circulaire autour du Soleil. On parle alors de révolution copernicienne. Ensuite, Johannes Kepler, astronome allemand, publie en 1609 Astronomia nova, puis, en 1619 Harmonices Mundi. Dans ces livres, il expose ce qui deviendra connu sous le nom des lois de Kepler. Dans ces lois, il précise des propriétés pour les orbites des planètes autour du Soleil. Par exemple, la première loi de Kepler postule que les planètes décrivent une orbite elliptique et non circulaire autour du Soleil (cf Figure 1)¹. Ces lois ont permis de prédire des phénomènes astronomiques observables comme le passage de Mercure devant le Soleil en 1631, que Kepler sut prédire à un dixième de degré près (pas mal !).

Ces lois servirent ensuite de base à Newton pour établir sa loi de la gravitation². On peut alors se poser la question suivante: quelle est la trajectoire de deux corps célestes exerçant l’un sur l’autre la force de gravitation ? Newton a résolu ce problème, appelé le « problème des deux corps ». En résolvant le problème, il a découvert que la trajectoire de la Terre fait partie de la famille des coniques qui se définit comme l’intersection d’un cône de révolution avec un plan (cf. Figure 2). Il retrouve les orbites elliptiques de Kepler mais sa loi, plus générale, lui permet de trouver d’autres types de trajectoires. En 1705, le physicien Edmond Hailey prédit le passage d’une comète à Noël 1758 grâce à l’approche de Newton.

Cette prédiction sera corrigée en 1757 par trois mathématicen.nes français.es : Alexis Clairaut, Joseph Lalande et Nicole-Reine Lepaute. Toujours à l’aide des lois de Newton, iels prirent en compte de manière plus précise l’influence de l’attraction gravitationnelle des planètes sur le chemin de la comète et corrigèrent au 13 Avril 1759 le passage de la comète au plus proche du Soleil. Cela arrivera finalement le 13 Mars 1759, soit un mois plus tôt. Sachant que cette comète passe dans le ciel terrestre tous les 76 ans, c’est pas si mal. Ce fut une des premières démonstrations de la loi de Newton et cette comète porte désormais le nom de comète d’Hailey.

Le problème des trois corps

Le problème se complique si on ajoute la Lune à l’étude de la rotation de la Terre autour du Soleil.

En effet, imaginons qu’on veuille résoudre le problème entièrement, c’est-à-dire en ne négligeant aucune des interactions : Terre-Soleil, Soleil-Lune et Terre-Lune. Dans ce cas, Poincaré a démontré en 1890, que le problème n’est pas intégrable³, en français ça veut dire qu’on n’arrive pas à trouver de solution simple. Bien qu’on entende souvent qu’on a pas trouvé de solution pour le problème des trois corps, c’est faux, on n’a pas de solution simple mais on a une solution. En 1909, Sundman en a découvert une qui repose sur l’utilisation de série convergente⁴. Alors, on serait tenté de se dire qu’on peut utiliser un ordinateur pour calculer les termes de cette série, et hop on en déduit la trajectoire des trois corps…

Oui sauf que non. Le calcul de cette fonction est tellement long qu’en pratique celle-ci est inutilisable.

Avant Sundman et même après, beaucoup de gens se sont intéressés à des cas particuliers du problème des trois corps, c’est-à-dire avec des hypothèses supplémentaires car ça permet de simplifier le problème. Par exemple, considérons le cas d’une étoile et d’une planète (le Soleil et la Terre par exemple) ainsi qu’un troisième corps qui a une masse très petite devant les deux autres ; on considère aussi que le mouvement se passe en 2D (on dit que le mouvement est plan). Dans ce cas particulier, le corps léger peut adopter 5 positions à l’équilibre appelées « points de Lagrange », comme illustré dans la Figure 3. Les points L1, L2 et L3 (ceux qui sont alignés avec la Terre et le Soleil) ont été déterminés en 1765 par Euler et ne sont pas stables tandis que les points LA et L5 (ceux qui définissent un triangle équilatéral entre eux-mêmes, le Soleil et la Terre) ont été déterminés en 1772 par Lagrange et sont stables. Les points L4 et L5, du fait de leur stabilité, peuvent abriter des astéroïdes qui portent le nom un peu badass de Troyens. Ainsi pour chaque planète orbitant autour du Soleil, il existe des points LA et L5 et donc potentiellement des corps célestes s’y trouvent.

D’ailleurs les Troyens les plus connus sont ceux de Jupiter car, étant donné la masse de Jupiter, il y a beaucoup d’astéroïdes qui ont été attirés dans les points L4 et L5. Au total, Jupiter compte 15 020 Troyens, à titre de comparaison la Terre en compte un seul …

Mais ne concluez pas que les autres points de Lagrange seraient inutiles parce qu’instables. Bien au contraire, ils sont très utiles notamment car nous y envoyons des satellites comme le télescope spatial James Webb ou encore le satellite Planck. En effet, étant donné leur instabilité, il y a peu d’astéroïdes ou autres corps célestes susceptibles de s’y trouver donc peu de chances de collisions avec des objets inconnus et comme ce sont des points d’équilibre, le coût en carburant pour se maintenir en orbite autour de ces points est minime !

Les recherches de solutions particulières du problème des trois corps ne se sont pas arrêtées au XVIIIème siècle. On peut citer les travaux de Moore (1993) et de Chenciner et Montgomery (2001) dans lesquels trois corps de masse égale se poursuivent sur une trajectoire en forme de huit ou celui de Milovan Suvakov and Veljko Dmitrasinovic (2013) qui ont découvert 13 nouvelles familles d’orbites périodiques du problème des trois corps pour trois masses égales se déplaçant dans un plan (voir Figure 5). Encore plus récemment, Xiaoming Li1 et Shijun Liao ont découvert en 2017 plus de 600 orbites périodiques pour trois corps de masse égales se déplaçant dans un plan.

Puis, en 2025, ils ont découvert 10 059 (l) nouvelles orbites périodiques cette fois pour deux corps de même masse, un troisième de masse différente et un mouvement pas forcément plan (un mouvement en 3D donc). Toutes ces solutions étant périodiques⁵, elles sont donc par définition stables, elles parcourent indéfiniment la même trajectoire.

Par contre n’allez pas croire que parce qu’on a pleins de solutions particulières, alors on sait résoudre le problème des trois corps. Ça serait trop simple ! Sans hypothèses supplémentaires sur le conportement du système, on ne sait pas faire grand chose. Par exemple, sur notre système solaire ça ne marche pas : aucune planète n’a le même poids et les orbites des planètes ne sont pas tout à fait périodiques. Pour résumer : on sait résoudre des cas simples mais pour les systèmes réels, on n’y arrive pas.

De la stabilité du système solaire

Après avoir discuté de quelques solutions stables du problème des trois corps, une question vient naturellement : notre système solaire est-il stable ? La réponse est simple mais vertigineuse : on ne sait pas. En effet, notre système solaire est un système chaotique, c’est-à-dire un système dont le comportement à long terme est imprévisible. On doit cette découverte à Poincaré qui, en voulant répondre à un problème donné par le roi de Suède sur la stabilité du système solaire, a publié un mémoire en 1888 qui démontre cette stabilité … sauf qu’il y avait une erreur dans son raisonnement ! Erreur qui le conduira à publier les 3 tomes des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste entre 1892 et 1899. Il faut bien comprendre que les résultats de ces ouvrages ne produiront de vrais développements qu’à partir des années 1960, ça montre à quel point ces résultats étaient novateurs pour l’époque! Dans ces ouvrages il invente notamment le concept de chaos déterministe et déclare à propos des trajectoires des planètes du système solaire: « On sera frappe par la complexite de cette figure, que je ne cherche même pas a tracer. Rien n’est plus propre a nous donner une idee de la complication du problème de trois corps […]». On peut résumer ainsi le problème : il est mathématiquement déterministe puisque la connaissance des positions et des vitesses à un instant donné permet de savoir ce qui se passera à un instant ultérieur mais il est physiquement « chaotique», c’est-à-dire imprévisible pour des durées assez longues.

Cette imprévisibilité vient de l’extrême sensibilité aux conditions initiales : si on change la position et la vitesse initiales d’une planète ne serait-ce qu’un tout petit peu, alors les trajectoires vont être totalement différentes sur des millions d’années. Dans la pratique, même avec nos moyens de calculs actuels, il est impossible de prévoir les trajectoires du système solaire sur des millions d’années à cause de ce caractère chaotique : une erreur d’un mètre (!) sur la position initiale d’un corps change profondément les trajectoires sur plusieurs millions d’années. La théorie du chaos, qui fut développée dans les années 1970 par Edward Lorenz puis Otto E. Rössler sur la base des résultats de Poincaré, a permis de nombreuses avancées dans divers domaines comme l’épidémiologie, la chimie, la médecine, la météorologie, …

Malgré tout cela, on ne sait pas encore si le système solaire est stable et si on ne risque pas à un moment de rentrer en collision avec une autre planète, ce qui peut faire un petit peu peur. Mais bon pour l’instant, les scientifiques ont l’air d’évaluer à 1% la probabilité d’une collision entre la Terre et une autre planète dans 5 milliards d’années. Je pense qu’on a de quoi voir venir. —

Bibliographie

Anderson, K. G. (1994). « Poincaré’s discovery of homoclinic points ». Archive for History of Exact Sciences, 48(2), 133-147.

Audin, M. (2002). « Intégrabilité et non-intégrabilité de systèmes hamiltoniens [d’après S. Ziglin, J. Morales-Ruiz, J.-P. Ramis…] ». Dans Séminaire Bourbaki: volume 2000/2001, exposés 880-893 (Astérisque n° 282, exposé n° 884, p. 113-135). Société mathématique de France.

Chenciner, A. (2007). « Three body problem ». Scholarpedia, 2(10), 2111.

Chenciner, A. et Montgomery, R. (2000). « A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses ». Annals of Mathematics, 152(3), 881-901.

Debono, L. (2026, 26 août). « Graz, 10 juillet 1600 : l’éclipse ratée qui fonda l’optique ». Novilune.

Henkel, M. (2001). « Sur la solution de Sundman du problème des trois corps ». Philosophia Scientiae, 5(2), 161-184.

Miller, M. C. (2012). « The scientific revolution and Kepler [notes de cours, HONR229X] ». University of Maryland.

« Point de Lagrange». Wikipédia. Page consultée à 19:46, 28 avril 2026

« Révolution. (s. d.) ». Dans Dictionnaire de français Larousse. Consulté le 18 septembre 2026, à l’adresse https://www.larousse.fr/

Ross, A. (2006). « Les lois des movements planétaires de Johannes Kepler». Bulletin AMQ, 46(3), 34-58.

Suvakov, M., & Dmitrasinovic, V. (2013). Three Classes of Newtonian Three-Body Planar Periodic Orbits. Physical Review Letters, 110(11), 114301.

Villani, C. (2013). La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré (C. Combelles, réd.). Bulletin de l’APMEP, (503).

Voelkel, J. R. (2001). « Commentary on Ernan McMullin, « The Impact of Newton’s Principia on the Philosophy of Science. » ». Philosophy of Science, 68(3), 319-326.

1. La deuxième loi de Kepler dit que plus les planètes sont proches du Soleil, plus elles ont une vitesse élevée. Et la troisième loi (accrochez-vous), dit que le carré du temps que met une planète à faire le tour du Soleil est proportionnel au cube du demi grand axe (cf Figure 1) ↩︎
2. Selon la loi de Newton, la force d’attraction entre deux corps célestes est inversement proportionnelle au carré de la distance les séparant et est dirigée suivant l’axe les reliant ↩︎
3. Un problème non intégrable c’est un problème qu’on ne peut pas réduire à la résolution d’un système d’équations algébriques. Une équation algébrique, dans ce cadre précis, est une relation simple (polynomiale pour les connaisseur.euses) entre une quantité constante (par exemple l’énergie) et les positions et vitesses initiales des planètes. En pratique, un problème intégrable aura une solution plus facile à exprimer qu’un problème non intégrable. ↩︎
4. Une série est la notion qui généralise le concept de somme à une infinité de termes. Voir encart en fin d’article. ↩︎
5. L’orbite d’un corps céleste est dit périodique quand celle-ci repasse à intervalles de temps réguliers sur les mêmes points. ↩︎